Meccanica dei Continui

Un primo filone di ricerca riguarda i fondamenti della Meccanica dei Continui. Una serie di due lavori (1, 2) riguarda le ipotesi di regolarità che le regioni dello spazio devono soddisfare per essere “adatte” a rappresentare le configurazioni di un continuo. Una serie più importante riguarda la riformulazione della Meccanica del Continuo in presenza di deformazioni discontinue, con lo scopo di includere nel quadro assiomatico i fenomeni legati alla frattura. Da questo tentativo di riformulazione è nata la teoria delle deformazioni strutturate (3, 4). Essa, mediante un procedimento di limite su successioni di continui microfessurati, permette di descrivere macroscopicamente alcuni comportamenti anelastici provocati dal cambiamento di struttura interna del materiale, quali il danneggiamento e diversi tipi di plasticizzazione. Dopo un tentativo di definizione diretta del campo delle tensioni interne (5), i successivi sviluppi (6-8) si sono orientati verso un approccio di tipo energetico, col quale si è ottenuto l’importante risultato della formulazione di una teoria di campo (9, 10). In questo ambito, un’analisi delle condizioni di bordo è stata condotta in (11). I legami con la teoria della plasticità cristallina sono esaminati in (12), mentre in (13) la teoria è estesa alle deformazioni strutturate del secondo ordine, che permettono una più raffinata analisi della microstruttura.

Dal precedente ha tratto origine un secondo filone di ricerca, che ha per obiettivo la caratterizzazione meccanica dei fenomeni anelastici. Dall’osservazione di alcuni semplici problemi monodimensionali si è infatti giunti a identificare un modello di comportamento basato sulla competizione di due energie, una di volume e una di superficie, col quale, a seconda della forma analitica assunta per la seconda si riescono a modellare fenomeni quali la rotura duttile o fragile, la plasticizzazione e il danneggiamento (14-16). In (17) è analizzata in particolare la relazione con le teorie della plasticità, e in (18-20) si studiano le energie superficiali di tipo “bi-modale”, che si sono rivelate adatte a descrivere certi meccanismi di frattura progressiva e di danneggiamento. Un lavoro di sintesi, nel quale si affronta anche l’analisi dei meccanismi di dissipazione, è in fase di preparazione (21). Nel settore della rottura fragile, un’energia coesiva del tipo di Griffith è alla base della teoria di Francfort e Marigo (22), che permette la predizione dell’innesco della rottura in un solido inizialmente non fratturato. In questo ambito, è di recente completamento un lavoro (23), su cui si è già riferito in alcuni congressi (24, 25), riguardante l’estensione al caso di energie di volume diverse da quella dell’elasticità lineare, nell’ambito della quale era stata formulata la teoria iniziale.

Un terzo filone riguarda alcuni argomenti di elasticità non lineare. In essi rientra lo studio del comportamento di materiali elastici ad energia non convessa, in cui la non convessità è legata ai fenomeni di cambiamento di fase. In questo ambito si colloca lo studio di cilindri in materiale bifase soggetti a torsione (26, 27), e sulla compressione confinata di parallelepipedi in polimero espanso (28). Il desiderio di approfondire il meccanismo di instabilità che provoca il cambiamento di fase ha portato ad uno studio più generale, tuttora in corso, sulla caratterizzazione dei minimi locali in corpi elastici ad energia non convessa (29-31).

Infine, sono stati oggetto di ricerca alcuni argomenti classici di elasticità, plasticità e viscoelasticità: la struttura del tensore elastico trasversalmente isotropo (32), l’analisi limite per materiali non resistenti a trazione (33), e lo studio del concetto di stato, di energia libera e di lavoro rilassato per il materiale viscoelastico lineare (34-38). Nell’ambito del calcolo delle strutture, ci si sta occupando delle strutture soggette a vincoli unilateri monotoni, la cui soluzione rientra nell’ambito dell’analisi convessa. Una caratterizzazione dei carichi staticamente ammissibili per strutture labili è stata ottenuta in (39). Una monografia più completa sul calcolo strutturale “lineare a tratti” è in corso di preparazione (40).



RIFERIMENTI

1. G. Del Piero, A class of fit regions and a universe of shapes for continuum mechanics, Journal of Elasticity 70, 175-195, 2003
2. G. Del Piero, A new class of fit regions, to appear
3. G. Del Piero, D.R. Owen, Structured deformations of continua, Arch. Rational Mech. Analysis 124, 99-155, 1993
4. G. Del Piero, D.R. Owen, Integral-gradient formulae for structured deformations, Arch. Rational Mech. Analysis 131, 121-138, 1995
5. G. Del Piero, Structured Stress Fields, in: K.Z. MARKOV ed., Continuum Models and Discrete Systems, World Scientific 1996
6. R. Choksi, G. Del Piero, I. Fonseca, D. R. Owen, Structured deformations as energy minimizers in some models of fracture and hysteresis, Math. and Mech. of Solids 4, 321-356, 1999
7. G. Del Piero, The energy of a one-dimensional structured deformation, Math. and Mech. of Solids 6, 387-408, 2001
8. G. Del Piero, Foundations of the theory of structured deformations, in: G. DEL PIERO, D.R. OWEN eds., Multiscale Modeling in Continuum Mechanics and Structured Deformations, CISM Courses and Lectures n. 447, 2004
9. L. Deseri, D.R. Owen, Towards a field theory for elastic bodies undergoing disarrangements, J. of Elasticity 70, 197-236, 2003
10. D.R. Owen, Elasticity with disarrangements, in: G. DEL PIERO, D.R. OWEN eds., Multiscale Modeling in Continuum Mechanics and Structured Deformations, CISM Courses and Lectures n. 447, 2004
11. G. Del Piero, Boundary conditions in the presence of structured deformations, Atti dei Convegni Lincei 210, 63-88, 2004
12. L. Deseri, D.R. Owen, Invertible structured deformations and the geometry of multiple slip in single crystals, Int. J. of Plasticity 18, 833-849, 2002
13. D.R. Owen, R. Paroni, Second-order structured deformations, Arch. Rational Mech. Analysis 155, 215-235, 2000
14. G. Del Piero, Towards a unified approach to fracture, yielding, and damage, in: E. INAN & K.Z. MARKOV eds., Continuum Models and Discrete Systems, 679-692, World Scientific 1998
15. G. Del Piero, One-dimensional ductile-brittle transition, yielding, and structured deformations, in: P. ARGOUL, M. FRÉMOND and Q.S. NGUYEN eds., Variations of domains and free-boundary problems in solid mechanics, 203-210, Kluwer 1999
16. G. Del Piero, On the role of interface energies in the description of material behavior, in: N. ANTONIC et al. eds., Multiscale Problems in Sciences and Technology, 117-128, Springer 2002
17. G. Del Piero, Interface energies and structured deformations in plasticity, in: G. DAL MASO, F. TOMARELLI eds., Variational Methods for Discontinuous Structures, 103-116, Birkhäuser 2002
18. G. Del Piero, L. Truskinovsky, A one-dimensional model for localized and distributed failure, J. Phys. IV France 8, Pr8, 95-102, 1998
19. G. Del Piero, L. Truskinovsky, Macro and micro cracking in one-dimensional elasticity, Int. J. Sol. Structures 38, 1135-1148, 2001
20. G. Del Piero, Bi-modal cohesive energies, in: G. DAL MASO, A. DE SIMONE, F. TOMARELLI eds., Variational Problems in Materials Science, 43-54, Birkhäuser 2006
21. G. Del Piero, L. Truskinovsky, Elastic bars with cohesive energy, in preparazione
22. G.A. Franfort, J.J. Marigo, Revisiting brittle fracture as an energy minimization problem, J. Mech. Phys. Solids 46, 1319-1342, 1998
23. G. Del Piero, G. Lancioni, R. March, A variational model for fracture mechanics: numerical experiments, accettato per la pubblicazione
24. G. Del Piero, G. Lancioni, R. March, A variational model for fracture mechanics, Proc. 5th International Congress of the Croatian National Society of Mechanics, Trogir, Croatia 2006
25. G. Del Piero, G. Lancioni, R. March, A variational model for fracture mechanics: a finite-element algorithm and numerical simulations, Proc. 3rd International Conference on advances in mechanical engineering and mechanics, Hammamet, Tunisia 2006
26. G. Del Piero, R. Rizzoni, Sulla torsione di un cilindro incomprimibile a energia non convessa, Atti XIII Congr. Naz. AIMETA, Siena 1997
27. G. Del Piero, R. Rizzoni, On the torsion of an incompressible cylinder with nonconvex energy, Proc. 1999 ASME Mechanics & Materials Conference, R.C. BATRA and E.G. HENNEKE Eds., Virginia Tech, 1999
28. G. Pampolini, Caratterizzazione meccanica e identificazione per un particolare tipo di instabilità riscontrato nella compressione di cilindri in polimero espanso, tesi di laurea, Ferrara 2006
29. G. Del Piero, R. Rizzoni, Local energy minimizers in incompressible elasticity, Atti XVII Congr. Naz. AIMETA, Firenze 2005
30. G. Del Piero, R. Rizzoni, Two-sided estimates for local minimizers in compressible elasticity, in stampa
31. G. Del Piero, R. Rizzoni, Weak local minimizers in finite elasticity, in preparazione
32. G. Del Piero, Representation theorems for hemitropic and transversely isotropic tensor functions, J. of Elasticity 51, 43-71, 1998
33. G. Del Piero, Limit Analysis and no-tension materials, Int. J. of Plasticity 14, 259-271, 1998
34. G. Del Piero, L. Deseri, Monotonic, completely monotonic, and exponential relaxation functions in linear viscoelasticity, Quart. Appl. Math. 53, 273-300, 1995
35. G. Del Piero, L. Deseri, On the concepts of state and free energy in linear viscoelasticity, Arch. Rational Mech. Analysis 138, 1-35, 1997
36. G. Del Piero, L. Deseri, On the analytic expression of the free energy in linear viscoelasticity, J. of Elasticity 43, 247-278, 1996
37. G. Del Piero, On the definitions of state and free energy in linear viscoelasticity, Atti dei Convegni Lincei 177, 268-279, 2002
38. G. Del Piero, The relaxed work functional in linear viscoelasticity, Math. and Mech. of Solids 9, 175-208, 2004
39. G. Del Piero, A condition for statical admissiblity in unilateral structural analysis, in: P. ALART, O. MAISONNEUVE, R.T. ROCKAFELLAR eds., Nonsmooth Mechanics and Analysis: Theoretical and Numerical Advances, 71-80, Springer 2006
40. G. Del Piero, H. Smaoui, Piecewise linear structural analysis, in preparazione.